Divisione tra due polinomi

La divisione tra due polinomi è una delle operazioni algebriche fondamentali, spesso utilizzata per semplificare espressioni complesse, risolvere equazioni e comprendere meglio la struttura delle funzioni polinomiali. In questa guida, esploreremo il processo di divisione tra polinomi, illustrandolo passo per passo con esempi pratici

Definizione

La divisione tra polinomi è un processo simile alla divisione lunga con i numeri, ed è spesso chiamata divisione polinomiale. Essa consente di determinare il quoziente e il resto quando un polinomio (dividendo) viene diviso per un altro polinomio (divisore).

Esempio

Consideriamo un esempio per spiegare il processo di divisione passo per passo.

Esempio: Dividiamo 6x³ + 11x² – 7x + 5 per 2x – 1, quindi 6x³ + 11x² – 7x + 5 / 2x – 1:

1. scrittura dell’operazione: la divisione polinomiale viene eseguita ponendo il dividendo (il polinomio da dividere) sotto una barra di divisione e il divisore a sinistra;
2. divisione del primo termine: dividiamo il primo termine del dividendo (6x³) per il primo termine del divisore (2x): 6x³ / 2x = 3x²;
3. moltiplicazione e sottrazione: moltiplichiamo il quoziente parziale (3x²) per tutto il divisore (2x – 1) e sottraiamo il risultato dal dividendo: (3x²)(2x – 1) = 6x³ – 3x².
   Sottraiamo questo risultato dal dividendo originale: (6x³ + 11x² – 7x + 5) – (6x³ – 3x²) = 14x² – 7x + 5;
4. ripetizione del processo: ripetiamo il processo con il nuovo dividendo 14x² – 7x + 5:
   • dividiamo il primo termine del dividendo (14x²) per il primo termine del divisore (2x): 14x² / 2x = 7x;
   • moltiplica il risultato della divisione per il divisore: 7x * (2x – 1) = 14x² – 7x;
   • sottraiamo questo dal dividendo attuale: (14x² – 7x + 5) – (14x² – 7x) = 5;
5. conclusione: poiché 5 è un termine costante e non può essere ulteriormente diviso da 2x – 1, il processo termina qui. Il risultato della divisione è: 3x² + 7x + 5 / 2x – 1, dove 3x² + 7x è il quoziente e 5 è il resto.

Caso particolare: divisione con resto zero

Se la divisione termina con un resto uguale a zero, significa che il dividendo è divisibile esattamente per il divisore e il quoziente sarà un polinomio senza termine frazionario. Questo avviene spesso quando il divisore è un fattore del dividendo.

Esempio: consideriamo la divisione di 4x² – 8x per 2x, quindi 4x² – 8x / 2x. In questo caso il resto è zero è il risultato equivale a 2x – 4.

Conclusione

La divisione tra due polinomi è un processo sistematico che, con la pratica, diventa più intuitivo e veloce. È una tecnica potente nell’algebra, utile per semplificare espressioni e risolvere equazioni. Comprendere bene come funziona la divisione polinomiale è essenziale per affrontare con successo problemi più complessi nella matematica avanzata.