Quadrato di binomio

Il quadrato di un binomio è un concetto fondamentale in algebra e rappresenta un’importante base per lo studio dei polinomi, argomento che stiamo trattando ultimamente. Questa formula si applica quando si eleva al quadrato una somma o una differenza di due termini. Il risultato è composto dal quadrato del primo termine, più (o meno) il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo termine. Comprendere come funziona e come si espande è essenziale per risolvere molti problemi matematici. In questo articolo, esploreremo il concetto di quadrato di un binomio, fornendo una spiegazione dettagliata e alcuni esempi pratici.

Cos’è un binomio?

Un binomio è un’espressione algebrica composta da due termini separati da un segno di addizione o sottrazione.

Un esempio tipico di binomio è: a + b.

Nel caso corrispondente a e b sono i due termini del binomio. Ogni termine può essere un numero, una variabile, o una combinazione di entrambi.

Definizione del quadrato di binomio

Il quadrato di un binomio si ottiene calcolando il quadrato del primo monomio sommato al doppio prodotto del primo monomio per il secondo, sommato a sua volta al quadrato del secondo monomio.

Matematicamente, se abbiamo un binomio (a + b), il quadrato del binomio è espresso come:

1. (a + b)² che, espandendo questa scrittura diventa (a + b)(a + b);
2. moltiplicando i termini, si ottiene: a² + 2ab + b²

Formula simbolica: (a ± b) ² = a² ± ab ± b², in cui il simbolo ± indica che il segno può essere positivo o negativo.

Dimostrazione della formula

Vediamo come si arriva a questa formula partendo dall’espansione del prodotto:

1. moltiplicazione dei termini: considerando il binomio (a + b), il suo quadrato si espande come: (a + b)(a + b) = a * a + a * b + b * a + b * b;
2. semplificazione: moltiplicando i termini otteniamo a² + ab + ab + b²;
3. raggruppamento: notiamo che son presenti due termini ab che possono essere sommati: a² + 2ab + b²

Esempi pratici

1. Esempio 1: consideriamo (x + 3)².
   Usando la formula il risultato equivale a x² + 6x + 9.
2. Esempio 2: consideriamo ora un binomio con un segno negativo (2y – 5).
   Riponendo una scrupolosa attenzione all’uso del segno, il risultato equivale a: 4y² – 20y + 25.