Prodotto di una somma per una differenza

Il prodotto di una somma per una differenza è una delle identità notevoli più utili e frequenti nell’algebra, oltre al quadrato di binomio e al quadrato di trinomio, dei quali ne abbiamo già parlato negli articoli precedenti. Questa identità permette di lavorare contemporaneamente con due segni opposti. In questo articolo, esploreremo il concetto del prodotto di una somma per una differenza, la formula generale e alcuni esempi pratici.

Definizione

Il prodotto della somma per la differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo.

La forma generale di questa identità è la seguente: (a + b)(a – b), in cui a e b sono i termini dei binomi, mentre i segni, + e -, evidenziano il contrasto tra positivo e negativo, realizzando in questo modo il concetto di prodotto di una somma per una differenza. L’operazione, una volta svolta, conduce al risultato di a² – b², dimostrando che il prodotto di una somma per una differenza è uguale alla differenza dei quadrati dei due termini.

Dimostrazione della formula

Vediamo come si arriva a questa formula espandendo l’espressione:

1. espansione: considerando il prodotto (a + b)(a – b), moltiplichiamo ogni termine del primo binomio per ogni termine del secondo binomio: a * a – a * b + b * a – b * b;
2. semplificazione: moltiplicando i termini otteniamo: a² – ab + ab – b²;
3. cancellazione dei termini: notiamo che i termini –ab e +ab si annullano a vicenda, lasciando a² – b².

Esempi pratici

1. Esempio 1: consideriamo (x + 5)(x – 5).
   Usando la formula sopra indicata otteniamo: consideriamo (x + 5)(x – 5) = x² – 25;
2. Esempio 2: lo stesso accadrà anche se utilizziamo altri numeri e variabili, come nel caso corrispondente: (y + 3)(y – 3), che diventa y² – 9.