Cubo di binomio

Quando si affrontano espressioni algebriche più complesse, l’uso delle identità notevoli può rendere il lavoro molto più semplice ed efficiente. Tra queste identità, il cubo di un binomio è particolarmente utile. Spesso nascosto dietro problemi che sembrano apparentemente difficili da risolvere, permette di espandere e semplificare espressioni in modo elegante e diretto.

In questo articolo, esploreremo come funziona questa identità, illustrandone la formula generale e presentando esempi pratici per dimostrarne l’applicazione. Qualora tu vorresti porre delle domande, ti ricordiamo che la puoi facilmente scrivere nella sezione commenti, a cui noi saremo ben felici di rispondere.

Definizione

Qualora non sapessi cosa sia un binomio, ti invitiamo a leggere l’articolo riservato al quadrato di un binomio in cui troverai la risposta alla tua domanda e magari scoprirai anche molte altre cose che prima non sapevi.

Il cubo di binomio si ottiene calcolando il cubo del primo monomio, sommato al cubo del secondo monomio, più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, aggiunto poi al triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo.

La formula generale per il cubo di un binomio (a + b) è:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Analogamente per il cubo di binomio (a – b) è:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² + 3b³

Questa formula mostra che il cubo di un binomio si espande in quattro termini, includendo sia cubi che prodotti misti dei termini originali.

Dimostrazione della formula

Vediamo come si arriva alla formula soprastante espandendo l’espressione (a – b)³:

1. espansione: consideriamo il cubo di binomio (a + b):
   (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b);
2. primo passaggio: moltiplichiamo i primi due binomi:
   (a + b)(a + b) = a² + ab + b²;
3. secondo passaggio: moltiplichiamo il risultato ottenuto per il terzo binomio:
   (a² + ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + a²b + ab² + ab² + b³;
4. raggruppamento e semplificazione: raggruppiamo i termini simili: a³ – 3a²b + 3ab² + 3b³
   

Esempi pratici

1. Esempio 1: consideriamo (x + 2)³.
   Usando la formula diventerebbe x³ + 6x² + 12x + 8.
2. Esempio 2: adesso considerando il cubo di un binomio con diverso segno e variabile ci accorgeremo che il procedimento è sempre quello, integrato però da una scrupolosa attenzione nell’utilizzo dei segni. Il binomio con cui lavoreremo è il seguente: (2y – 3)³.
   Seguendo la formula diventa: 8y³ – 36y² + 54y – 27.