La proprietà fondamentale delle proporzioni: una guida completa

Abbiamo da poco iniziato l’argomento delle proporzioni, illustrandone i concetti basilari e tutte le loro proprietà. Poiché le proporzioni sono presenti in molti ambiti matematici, scientifici e tecnologici, saperle sviluppare è essenziale per sapere eccellere in quei campi. Tuttavia vi sono alcune proprietà che aiutano a svolgere queste proporzioni. In particolare ricordiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni, che, come possiamo ben distinguere dal suo nome, è la proprietà basilare di quest’argomento.

Definizione

La proprietà fondamentale delle proporzioni, nota anche come “legge del prodotto dei medi e degli estremi“, afferma che in una proporzione il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto dei termini estremi.

Quindi una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti, del tipo: ^a/_b = ^c/_d, dove a, b, c e d sono numeri reali e ≠ 0. Secondo la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha a*d = b*c. Pertanto il prodotto dei termini estremi (a, d) è uguale al prodotto dei medi (c,b)

Dimostrazione della proprietà fondamentale delle proposizioni

Per facilitare la comprensione della definizione, possiamo dimostrare la proprietà fondamentale delle proporzioni con semplici passaggi algebrici:

1. partiamo dalla proposizione base ^a/_b = ^c/_d;
2. moltiplichiamo entrambi i membri per d*b, in modo da togliere i denominatori: (d*b)(^a/_b) = (d*b)(^c/_d);
3. questo ci porta a a*d = c*b

Risoluzione di proporzioni con zero incognite

Per verificare le proporzioni possiamo utilizzare la proprietà protagonista di quest’articolo. Per esempio, se disponessimo la seguente proporzione: 4:5 = 10:8, seguiremo i seguenti passaggi:

1. prodotto degli estremi e dei medi: 4*8 = 5*10;
2. risoluzione delle moltiplicazioni: 40 = 40;
3. constatare che la proporzione sia veritiera.

Risoluzione di proporzioni con un’incognita

A volte, nelle proporzioni, è possibile trovare un termine del quale non si conosce il suo valore. Esso viene chiamato incognita. Quando siamo in queste situazioni bisogna ricavare il valore dell’incognita, identificata molto spesso come x.

Per esempio, se disponessimo della seguente proporzione: 3:x = 6:8, usando la proprietà fondamentale delle proporzioni, otterremmo: 3*8 = 6*x. Una volta svolta, avremo il seguente risultato: 24: 6x. Divideremo così entrambi i membri per il coefficiente della x: ²⁴/₆ = ⁶/₆x, ottenendo: 4 = x.

Per verificare se si tratta di una proporzione veritiera, sostituiremo il valore di x al posto dell’incognita. In questo modo avremo 3*8 = 6*4; 24 = 24.