Approfondimento della proprietà del comporre delle proposizioni
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Le proporzioni sono una delle fondamenta della matematica, in particolare nell’ambito dell’algebra e della geometria. La capacità di manipolare e comprendere le proporzioni è essenziale per risolvere una vasta gamma di problemi matematici. Una delle proprietà più utili e interessanti delle proporzioni è la proprietà del comporre, che permette di risolvere equazioni e di semplificare calcoli complessi e che approfondiremo in questo articolo, spiegando cosa sia, come si applichi e fornendo esempi pratici per illustrarne l’utilità.
Definizione
La proprietà del comporre afferma che in una proporzione il rapporto tra la somma dei primi due termini e il secondo termine è uguale al rapporto tra la somma degli ultimi due termini e il quarto termine.
Considerando una proporzione del tipo: a/b = c/d, secondo la proprietà del comporre è possibile scrivere: a+b/b = c+d/d.
Dimostrazione della proprietà del comporre
Per facilitare la comprensione della definizione, possiamo dimostrare la proprietà del comporre delle proporzioni con semplici passaggi algebrici:
- partiamo dalla proporzione iniziale: a/b = c/d;
- adottiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: a*d = b*c;
- sommiamo ad entrambi i termini della proporzione b*d: a*d + (b*d) = b*c + (b*d);
- fattorizziamo d a sinistra e b a destra: d * (a+b) = b * (c+d);
- dividiamo entrambi i lati per b*d ottenendo la forma che volevamo avere sin dalla partenza: a+b/b = c+d/d.
Applicazione con una proposizione con zero incognite
Per verificare le proporzioni possiamo utilizzare la proprietà protagonista di quest’articolo. Per esempio, se disponessimo la seguente proporzione: 4:2= 6:3, seguiremo i seguenti passaggi:
- applichiamo la proprietà del comporre: 4+2/2 = 6+3/3;
- facciamo i calcoli, svolgendo prima le addizioni e poi la riduzione ai minimi termini: 6/2 = 9/3; 3=3;
- abbiamo ottenuto una proposizione veritiera.
Applicazione con una proposizione con una incognita
A volte, nelle proporzioni, come è stato già spiegato nell’articolo riservato alla proprietà fondamentale delle proposizioni, è possibile trovare un termine del quale non si conosce il suo valore. Esso viene chiamato incognita. Immaginando di avere la seguente proposizione: 5:3 = x:4, la risolveremo seguendo i seguenti passaggi:
- applichiamo la proprietà del comporre: 5+3/3 = x+4/4;
- semplifichiamo la frazione a sinistra:8/3 = x+4/4;
- per trovare x moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore della x: 4*8/3 = x+4; 32/3 = x+4;
- sottraiamo 4 da entrambi i membri: 32/3+4 = x;
- convertiamo 4 in una frazione con denominatore 3: 32/3 + 12/3;
- ora sottraiamo: 20/3 = x. Quindi il valore di x equivale a 20/3.