Approfondimento della proprietà del comporre delle proposizioni

Le proporzioni sono una delle fondamenta della matematica, in particolare nell’ambito dell’algebra e della geometria. La capacità di manipolare e comprendere le proporzioni è essenziale per risolvere una vasta gamma di problemi matematici. Una delle proprietà più utili e interessanti delle proporzioni è la proprietà del comporre, che permette di risolvere equazioni e di semplificare calcoli complessi e che approfondiremo in questo articolo, spiegando cosa sia, come si applichi e fornendo esempi pratici per illustrarne l’utilità.

Definizione

La proprietà del comporre afferma che in una proporzione il rapporto tra la somma dei primi due termini e il secondo termine è uguale al rapporto tra la somma degli ultimi due termini e il quarto termine.

Considerando una proporzione del tipo: ^a/_b = ^c/_d, secondo la proprietà del comporre è possibile scrivere: ^a+b/_b = ^c+d/_d.

Dimostrazione della proprietà del comporre

Per facilitare la comprensione della definizione, possiamo dimostrare la proprietà del comporre delle proporzioni con semplici passaggi algebrici:

1. partiamo dalla proporzione iniziale: ^a/_b = ^c/_d;
2. adottiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: a*d = b*c;
3. sommiamo ad entrambi i termini della proporzione b*d: a*d + (b*d) = b*c + (b*d);
4. fattorizziamo d a sinistra e b a destra: d * (a+b) = b * (c+d);
5. dividiamo entrambi i lati per b*d ottenendo la forma che volevamo avere sin dalla partenza: ^a+b/_b = ^c+d/_d.

Applicazione con una proposizione con zero incognite

Per verificare le proporzioni possiamo utilizzare la proprietà protagonista di quest’articolo. Per esempio, se disponessimo la seguente proporzione: 4:2= 6:3, seguiremo i seguenti passaggi:

1. applichiamo la proprietà del comporre: ⁴⁺²/₂ = ⁶⁺³/₃;
2. facciamo i calcoli, svolgendo prima le addizioni e poi la riduzione ai minimi termini: ⁶/₂ = ⁹/₃; 3=3;
3. abbiamo ottenuto una proposizione veritiera.

Applicazione con una proposizione con una incognita

A volte, nelle proporzioni, come è stato già spiegato nell’articolo riservato alla proprietà fondamentale delle proposizioni, è possibile trovare un termine del quale non si conosce il suo valore. Esso viene chiamato incognita. Immaginando di avere la seguente proposizione: 5:3 = x:4, la risolveremo seguendo i seguenti passaggi:

1. applichiamo la proprietà del comporre: ⁵⁺³/₃ = ^x+4/₄;
2. semplifichiamo la frazione a sinistra:⁸/₃ = ^x+4/₄;
3. per trovare x moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore della x: 4*⁸/₃ = x+4; ³²/₃ = x+4;
4. sottraiamo 4 da entrambi i membri: 32/3+4 = x;
5. convertiamo 4 in una frazione con denominatore 3: ³²/₃ + ¹²/₃;
6. ora sottraiamo: ²⁰/₃ = x. Quindi il valore di x equivale a ²⁰/₃.