La proprietà del permutare delle proporzioni: un’analisi dettagliata

La proprietà del permutare, l’ultima tra tutte le proprietà delle proporzioni è un concetto matematico di grande utilità, spesso applicato in algebra, geometria, e nelle scienze economiche e fisiche. Questa proprietà permette di dividere una proporzione in più parti, facilitando il calcolo e la comprensione di problemi complessi. In questo articolo, esploreremo cosa implica questa proprietà, come viene applicata, e forniremo esempi pratici per chiarirne l’utilizzo.

Definizione

La proprietà del permutare si riferisce alla possibilità di scambiare le posizioni dei termini in una proporzione senza alterarne la validità.

In altre parole, se abbiamo una proporzione del tipo: ^a/_b = ^c/_d, possiamo permutare le posizioni dei termini della proposizione senza alterare il risultato. Quindi otterremo: ^a/_c = ^b/_d.

Dimostrazione della proprietà dell’invertire

Per facilitare la comprensione della definizione, possiamo dimostrare la proprietà del permutare delle proporzioni con semplici passaggi algebrici:

1. partiamo dalla proporzione iniziale: ^a/_b = ^c/_d;
2. adottiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: a*d = b*c;
3. ora consideriamo i rapporti permutati: ^a/_c= ^b/_d;
4. moltiplichiamo ad entrambi i termini della proporzione c*d: (c*d) * ^a/_c=^b/_d * (c*d);
5. semplifichiamo: a*d = b*c che equivale a ^a/_c = ^b/_d;

Esempio pratico

Consideriamo un esempio pratico per illustrare l’utilità della proprietà del permutare. Supponiamo di avere la proporzione: 4:9 = 8:18 che, applicando la proprietà del permutare, diventa 4:8= 9:18, che semplificata diventa 1:2 = 1:2, ossia ¹/₂ = ¹/₂ in termini frazionari.

Entrambi i rapporti invertiti sono uguali e verificano la stessa proporzione. Questa proprietà è utile in situazioni in cui può essere più conveniente lavorare con i rapporti inversi piuttosto che con quelli originali.

Applicazioni della proprietà del permutare

1. geometria: le proporzioni vengono spesso utilizzate per risolvere problemi relativi a triangoli simili. Se due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti sono proporzionali. La proprietà del permutare può aiutare a trovare lunghezze sconosciute scambiando i termini delle proporzioni date;
2. finanza: le proporzioni vengono utilizzate per calcolare i tassi di interesse e altri indicatori economici. La proprietà del permutare può essere utilizzata per semplificare le equazioni che coinvolgono rapporti tra quantità finanziarie diverse;
3. chimica: la proprietà del permutare è utilizzata nella preparazione di soluzioni diluite da soluzioni concentrate;
4. statistica: nel campionamento stratificato, la proporzione di un campione rispetto all’intera popolazione può essere utilizzata per stimare parametri della popolazione;