Proprietà e particolarità dell’intersezione tra insiemi
L’intersezione tra insiemi, di cui, nello scorso articolo, abbiamo riportato definizione e applicazioni quotidiane, così come nel caso dell’unione, presenta numerosi proprietà e particolarità, l’argomento protagonista dell’articolo odierno, la cui conoscenza è fondamentale per sapersi orientare al meglio all’interno dell’insiemistica.
Commutatività
L’ordine degli insiemi non influisce sull’intersezione. Questo significa che intersecare A con B produce lo stesso insieme di intersecare B con A.
Simbolicamente: A ∩ B = B ∩ A.
Associatività
È possibile raggruppare gli insiemi in modo diverso senza cambiare il risultato. Questa proprietà permette di intersecare più di due insiemi senza preoccuparsi dell’ordine.
Simbolicamente: (A ∩ B) ∩ C = (C ∩ B) ∩ A
Idempotenza
L’intersezione di un insieme con se stesso è l’insieme stesso, riflettendo l’idea che ogni elemento è sicuramente comune a sé stesso.
Simbolicamente: A ∩ A = A.
Insieme vuoto
L’intersezione di un insieme con l’insieme vuoto è sempre l’insieme vuoto. Questo perché non ci sono elementi in comune tra un insieme e l’insieme vuoto.
Simbolicamente: A ∩ ∅ = ∅.
L’intersezione di due insiemi vuoti equivale sempre ad un insieme vuoto
Simbolicamente: ∅ ∩ ∅ = ∅.
Assorbimento
L’intersezione di un insieme con la sua unione con un altro insieme restituisce l’insieme originale. Questo riflette il fatto che qualsiasi elemento in A è sicuramente presente in A ∪ B.
Simbolicamente: A ∩ (A ∪ B) = A.
Intersezione multipla
L’intersezione può essere estesa a più di due insiemi.
Simbolicamente: A ∩ B ∩ C = {x | x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C}.
Insiemi disgiunti
Due insiemi sono detti insiemi disgiunti quando non hanno elementi in comune. L’intersezione tra essi equivale all’insieme vuoto.
Simbolicamente: A ∩ B = ∅
Insiemi non disgiunti
Due insiemi sono detti insiemi non disgiunti quando questi hanno elementi in comune. L’intersezione tra essi equivale solo agli elementi in comune.
Simbolicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e B}.
Intersezione con sottoinsiemi
Qualora B sia il sottoinsieme di A contenente però tutti gli elementi di A, la loro intersezione equivale all’insieme intero.
Simbolicamente: Se A = B allora diremo che A ∩ B = A.
Nel momento in cui B sia il sottoinsieme di A contenente solo alcuni elementi e non tutti, l’intersezione sarà equivalente al sottoinsieme.
Simbolicamente: Se B ⊆ A diremo che A ∩ B = B.
