Il prodotto cartesiano tra insiemi

Il prodotto cartesiano è uno dei concetti fondamentali nella teoria degli insiemi, con applicazioni che si estendono a molteplici aree della matematica, dell’informatica e delle scienze. Questo concetto, strettamente correlato a quello delle coppie ordinate, di cui abbiamo parlato nel precedente articolo, permette di costruire nuove strutture a partire da insiemi esistenti, fornendo una base per lo studio delle relazioni, delle funzioni e degli spazi multidimensionali.

Definizione

Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano A * B è l’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) tali che a appartiene ad A e b appartiene a B: A * B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. Questa costruzione combina ogni elemento di A con ogni elemento di B, creano un insieme di coppie ordinate dove l’ordine degli elementi è importante.

Esempi:

1. prodotto cartesiano tra due insiemi finiti:
   se A = {1, 2} e B = {x, y}, allora il prodotto cartesiano A * B è il seguente:
   A * = {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y)};
2. prodotto cartesiano con insieme infinito
   se a = N e B = {0, 1} allora il prodotto cartesiano A * B sarà un insieme infinito di coppie ordinate:
   {A * B {(0,0); (0,1); (1,0); (1,1); (2,0)… }.

Applicazioni quotidiane

• relazioni: una relazione R tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A * B. Ad esempio, una relazione di uguaglianza tra numeri, può essere rappresentata come R = {(a, b) ∈ N * N | a * b};
• funzioni: una funzione f : A → B può essere vista come un insieme di coppie ordinate (a, b) tale che ogni a ∈ A è associato a un unico b ∈ B. Formalmente, la funzione è un sottoinsieme di A * B con la proprietà di unicità per il secondo elemento della coppia;
• geometria analitica: in geometria analitica, il piano cartesiano è un esempio di prodotto cartesiano. IL piano è definito come R * R, cioè l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali (x, y), dove x e y sono le coordinate di un punto nel piano.