Le uguaglianze in matematica: definizione, proprietà e applicazioni

Il concetto di uguaglianza è centrale in matematica, fungendo da fondamento per numerose operazioni e per la risoluzione di problemi complessi. Ma cosa significa realmente affermare che due espressioni numeriche sono uguali? Questa nozione di equilibrio tra espressioni e valori non solo è cruciale per l’algebra, ma permea l’intero campo della matematica. In questo articolo, esamineremo in dettaglio il concetto di uguaglianza, le sue proprietà principali e le varie applicazioni pratiche, rivelando come essa costituisca un elemento chiave per comprendere e risolvere problemi matematici.

Le uguaglianze sono anche il nuovo capitolo che siamo ben lieti di aprire all’interno del nostro blog. A nostro riguardo, sono tra le migliori parti che la matematica possa offrire, poiché ti permette di giocare facilmente con i numeri in modo da ottenere risultati identici.

Definizione

Un’uguaglianza è un’affermazione che due espressioni matematiche hanno lo stesso valore. Si rappresenta utilizzando il simbolo = (uguale). Tutto ciò che sta a sinistra dell’uguale prende nome di I membro, mentre tutto ciò che si trova a destra si chiama II membro. Un’uguaglianza può essere anche semplice, come nel caso di due numeri uguali, o più complessa, quando coinvolge espressioni algebriche o equazioni.

Esempio:

• Uguaglianza semplice: 3 + 2 = 5;
• Uguaglianza algebrica o complessa: y + 4 = 9

Proprietà delle uguaglianze

Le uguaglianze in matematica seguono alcune proprietà fondamentali che ne regolano l’uso:

1. proprietà riflessiva: qualsiasi quantità è uguale a sé stessa: a = a;
2. proprietà simmetrica: se una quantità è uguale a un’altra, allora l’altra è uguale alla prima: a = b;
3. proprietà transitiva: se una quantità è uguale a una seconda, e la seconda è uguale a una terza, allora la prima è uguale alla terza: se a = b e b = c, allora a = c;
4. proprietà additiva: se aggiungi la stessa quantità a entrambi i lati di un’uguaglianza, l’uguaglianza rimane valida: se a = b, allora a + c = b + c;
5. proprietà moltiplicativa: se moltiplichi entrambi i lati di un’uguaglianza per la stessa quantità, l’uguaglianza rimane valida: se a = b, allora a + c = b + c.

Tipi di uguaglianze

Le uguaglianze possono assumere forme diverse a seconda delle espressioni coinvolte:

1. uguaglianze numeriche: involgono numeri e sono sempre vere o false: 7 + 3 = 10;
2. uguaglianze algebriche: involgono variabili e possono essere vere per tutti i valori delle variabili (identità) o per determinati valori (equazioni): 2x + 3 = 7;
3. uguaglianze funzionali: espressioni che stabiliscono l’equivalenza tra due funzioni per ogni valore del loro dominio: f (x) = g (x).

Applicazioni quotidiane

Le uguaglianze sono utilizzate in moltissimi ambiti, come:

• geometria: per stabilire relazioni tra segmenti, angoli, aree, e volumi;
• fisica: per esprimere leggi fisiche, come la seconda legge di Newton f = ma;
• informatica: per scrivere condizioni e controllare flussi logici nei programmi.

Per concludere le uguaglianze si dividono in Identità ed Equazioni, argomenti che tratteremo meglio nei prossimi due articoli che ti invito a non perdere.