Le equazioni nell’algebra

Un’equazione è una dichiarazione di uguaglianza tra due espressioni matematiche contenenti una o più variabili. Attraverso di esse è possibile modellare, risolvere e comprendere una vasta gamma di problemi, da quelli più semplici a quelli complessi che emergono nelle scienze fisiche, economiche e sociali. Questo articolo esplorerà le diverse tipologie di equazioni, i metodi per risolverle e le loro applicazioni pratiche.

Definizione

Un’equazione è un’uguaglianza matematica tra due espressioni algebriche che include una o più variabili. L’obiettivo principale nel risolvere un’equazione è trovare i valori delle variabili, detti soluzioni dell’equazione, che rendono vera l’uguaglianza.

Dicesi soluzione di un’equazione, quel valore che sostituito al posto dell’incognita trasforma l’equazione in un’identità numerica.

In forma generale, un’equazione può essere espressa come:

f (x) = g (x)

Dove f (x) e g (x) sono due espressioni che dipendono dalla variabile x.

Due equazioni si dicono uguali quando il primo e il secondo membro della prima equazione sono uguali alla seconda.

Due equazioni vengono dette equivalenti quando posseggono la stessa soluzione.

Il grado di un’equazione

Il grado di un’equazione tende ad informare del massimo numero di soluzione ben definite dall’equazione.

In base al loro grado, pervengono diverse tipologie di equazioni. Eccole in elenco:

1. equazioni lineari: equazioni di primo grado, ossia l’esponente maggiore che compare nelle variabili e equivale ad 1.
   • Forma generale: ax + b = 0;
   • Esempio: 3x + 2 = 8.
   • Risoluzione: si isolano le variabili da un lato e i termini costanti dall’altro cambiandone i segni quando necessario. Nell’esempio risulta 3x = 8 – 2, 3x = 6. Arrivati a questo punto il coefficiente della x diventa il denominatore del secondo membro, ottenendo in questo modo il risultato equivalente a 2.
2. Equazioni quadratiche: equazioni di secondo grado, quindi l’esponente maggiore che compare nelle variabili equivale a 2.
   • Forma generale: ax² + bx + c = 0.
   • Esempio: x² – 5x + 6 = 0.
   • Risoluzione: le equazioni quadratiche possono essere risolte mediante fattorizzazione o completamento del quadrato.
3. Equazioni polinomiali: equazioni con grado superiore al secondo.
   • Esempio: x³ – 4x² + x + 6 = 0.
   • Risoluzione: la risoluzione può richiedere scomposizione in fattori, utilizzo del metodo di Ruffini, o approssimazioni numeriche.

Caratteristiche

Un’equazione può essere:

• determinata: ha solo una soluzione;
• indeterminata: ha infinite soluzioni e risulta 0x = 0;
• impossibile: non ha soluzioni e risulta 0x = n.