Analisi della proprietà dello scomporre

La proprietà dello scomporre delle proporzioni, ultimo argomento di cui abbiamo parlato nel nostro blog, è uno dei fondamenti dell’aritmetica e della geometria, con applicazioni che si estendono dalla risoluzione di problemi matematici alla comprensione di fenomeni naturali e scientifici. Questa proprietà è cruciale per semplificare e manipolare proporzioni complesse, facilitando il lavoro con relazioni tra numeri e grandezze.

All’interno di quest’articolo, quindi, come abbiamo fatto anche per la proprietà fondamentale delle proporzioni e per la proprietà del comporre, riporteremo definizione e applicazione nei due tipi di proporzione: con e senza incognita.

Definizione

La proprietà dello scomporre è l’opposto della proprietà del comporre. Essenzialmente, afferma che se abbiamo una proporzione, possiamo separare i termini sottraendoli.

Pertanto, avente la seguente proporzione ^a/_b = ^c/_d, secondo la proprietà dello scomporre è possibile scrivere: ^a-b/_b = ^c-d/_d. Conoscere la parte teorica della proprietà del comporre, è quindi essenziale per comprendere anche quella dello scomporre. Per farlo puoi consultare il nostro precedente articolo accedendo al seguente link.

Dimostrazione della proprietà dello scomporre

Per facilitare la comprensione della definizione, possiamo dimostrare la proprietà dello scomporre delle proporzioni con semplici passaggi algebrici:

1. partiamo dalla proporzione iniziale: ^a/_b = ^c/_d;
2. adottiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: a*d = b*c;
3. sottraiamo ad entrambi i termini della proporzione b*d: a*d – (b*d) = b*c – (b*d);
4. fattorizziamo d a sinistra e b a destra: d * (a-b) = b * (c-d);
5. dividiamo entrambi i lati per b*d ottenendo la forma che volevamo avere sin dalla partenza: ^a-b/_b = ^c-d/_d.

Applicazione con una proposizione con zero incognite

Per verificare le proporzioni possiamo utilizzare la proprietà protagonista di quest’articolo. Per esempio, se disponessimo la seguente proporzione: 6:2= 9:3, seguiremo i seguenti passaggi:

1. applichiamo la proprietà del comporre: ^6-2/₂ = ^9-3/₃;
2. facciamo i calcoli, svolgendo prima le addizioni e poi la riduzione ai minimi termini: ⁴/₂ = ⁶/₃; 2=2;
3. abbiamo ottenuto una proposizione veritiera.

Applicazione con una proposizione con una incognita

A volte, nelle proporzioni, come è stato già spiegato nell’articolo riservato alla proprietà fondamentale delle proposizioni, è possibile trovare un termine del quale non si conosce il suo valore. Esso viene chiamato incognita. Immaginando di avere la seguente proposizione: 12:4 = 15: x, la risolveremo seguendo i seguenti passaggi:

1. applichiamo la proprietà del comporre: ^12-4/₁₂= ^15+x/₁₅;
2. semplifichiamo la frazione a sinistra:⁸/₁₂= ^15+x/₄; ²/₃= ^15+x/₁₅
3. per trovare x moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore della x: 15*²/₃ = 15+x; 10= x+15;
4. sottraiamo 15 da entrambi i membri: 15-10= x; Quindi il valore di x equivale a 5.