La teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi, l’argomento che permette l’apertura ad un nuovo capitolo della matematica di Blogdidattico.it, rappresenta uno dei pilastri fondamentali della matematica moderna, sviluppata principalmente da Georg Cantor alla fine del XIX secolo. Questa teoria, ciò che approfondiremo nel corso di quest’articolo, fornisce un quadro formale per studiare le collezioni di oggetti, animali, numeri, persone con stesse caratteristiche, chiamati insiemi, e le relazioni tra di essi.

Definizione

Fino ad esso, studiando i vari argomenti matematici, abbiamo sempre raggruppato i numeri, quindi positivi, negativi e frazionari, in insiemi, come quelli dei numeri naturali, relativi e razionali. Pertanto tutti gli insiemi numerici visti finora sono:

• N: numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5…);
• N₀: numeri naturali con zero escluso (1, 2, 3, 4, 5…);
• Z: numeri interi relativi (-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…);
• Q_a: numeri razionali assoluti, quindi numeri frazionari e decimali finiti (3; 7,3; 4;5, ³/₁, ²/₅, ⁴/₃);
• Q: numeri relativi (Q_a⁺∪Q_a^–): formati da numeri razionali positivi e negativi (3; -7,3; 4;5, –³/₁, ²/₅, –⁴/₃).

Oggi però scopriremo come gli insiemi non devono esser costituiti solo da numeri, ma anche da oggetti, persone e animali con caratteristiche comuni.

Dicesi insieme un raggruppamento di elementi (persone, numeri, figure, piante) della stessa natura o di natura diversa, per i quali esista un criterio oggettivo che permetta di stabilire inequivocabilmente se un elemento appartiene (∈) o meno (∉)a quell’insieme.

Secondo la definizione sopra riportata, quindi, un raggruppamento degli ingredienti di un dolce è un insieme, così come l’unione degli oggetti presenti in un negozio. Tuttavia un raggruppamento delle persone più generose di una scuola o l’unione dei professori bravi di una classe non vengono classificati come insiemi, nel momento in cui tra i loro elementi non persiste un criterio oggettivo, bensì soggettivo.

I simboli degli insiemi

Gli insiemi si indicano sempre con le lettere maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, D, E…). Gli elementi, invece, si rappresentano con le lettere minuscole (a, b, c, d, e…).

Per dire che a appartiene ad A, si utilizza ∈, quindi a∈A.

Tuttavia se a non appartiene ad A, si esprime con ∉, ossia a∉A.

Insiemi speciali

Alcuni insiemi hanno una rilevanza particolare, distinguendosi dagli altri per specifiche caratteristiche:

• l’insieme vuoto ∅ , che non contiene alcun elemento;
• l’insieme universale ∪, che contiene tutti gli elementi di interesse in un contesto specifico.